Вопросы по лекционному курсу "Квантовая механика и квантовые вычисления" (магистры 1 года КИ)

1. Уравнение Шредингера, его общее решение, представление физических величин операторами, операторы координаты, импульса, момента, энергии, их собственные значения и собственные функции. Разложение произвольной функции по собственным функциям указанных операторов. Решение задачи Коши для уравнения Шредингера методом собственных функций. 

2. Действие вдоль пути. Дифференцирование функционалов. Эквивалентность классической механики принципу нулевой вариации действия. Интегралы по путям Фейнмана и их эквивалентность уравнению Шредингера. Ядро для свободной частицы, соотношение неопределенности "координата-импульс" в алгебраической и вероятностной формах. Интеграл по путям как непрерывная форма матричной механики. 

3. Постоянная Планка. Характерное действие. Критерий перехода от квантовой механики к классической в терминах характерного действия. Роль классической траектории для систем с квадратичным функционалом. 

4. Оператор момента импульса и его свойства. Коммутационные соотношения для оператора момента импульса. Матрицы Паули. Невозможность одновременного определения проекций момента на разные оси. Совместное измерение квадрата момента и его проеции на одну из осей. Собственные функции квадрата оператора момента импульса. 

5. Обобщенный оператор момента. Спин частицы. Гамильтониан для частицы со спином 1/2 в магнитном поле. Собственные значения квадрата момента и его проекции на одну из осей. Отличие обобщенного оператора момента от момента импульса (дать развернутое объяснение, сославшись на эксперименты). Невозможность трактовки спина в терминах вращения заряда. Общий момент частицы со спином. Орбитальный и спиновой вклад в нерелятивистском представлении на примере частицы со спином 1/2. 

6. Две частицы со спинами. Переход к совместному бизису. Коэффициенты Клебша-Гордана. 

7. Связь оператора момента с произвольным вектор-оператором. Теорема Вигнера-Эккарта. 

8. Гармонический осциллятор в классическом случае. Квантовый гармонический осциллятор. Рождение и уничтожение квантов возбуждения. Когерентные состояния гармонического осциллятора. 

9. Уравнения Максвелла, сохранение заряда и закон силы как замкнутая система уравнений, описывающая динамику зарядов. Общее решение уравнений Максвелла. Понятие калибровки. Калибровка Лоренца. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля. Переход к импульсному базису. Сведение уравнений Максвелла к набору гармонических осцилляторов и закону Кулона. 

10. Квантование электромагнитного поля. Понятие фотона данной моды. Действие системы "заряды+поле". Взаимодействие векторного поля с зарядами как малое возбуждение кулоновской системы. Дипольное приближение. Вывод амплитуды испускания возбужденным атомом фотона данной моды, зависимость от частоты и дипольного момента атомного перехода.